Шестнадцатая книжка серии «Школьные математические кружки» посвящена арифметике остатков. В неё вошли разработки семи занятий математического кружка для 7-9 классов с подробно разобранными примерами различной сложности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для учителя. В конце книги приведены дополнительные задачи и их решения, обширный список использованной литературы, а также список источников, содержащих более сложный материал. Книга продолжает брошюру А.И.Сгибнева «Делимость и простые числа», переходя от вопросов делимости к математическим понятиям и языку, чьё появление произвело революцию в теории чисел. Рассматриваются теорема Вильсона, свойства функции Эйлера, китайская теорема об остатках, малая теорема Ферма и теорема Эйлера. Последние два занятия посвящены новым для кружков темам: псевдопростым числам и криптографии с открытым ключом. Каждое занятие проиллюстровано портретом и биографией автора теоремы. Для удобства использования заключительная часть книжки, как всегда, сделана в виде раздаточных материалов. Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям математики.
Купить электронную версию книги на litres.ru
Восьмым выпуском в серии «Школьные математические кружки» вышла книга А.И.Сгибнева «Делимость и простые числа» (в дальнейшем мы будем обозначать ее ДПЧ). В ней несколько первых занятий посвящены вопросам делимости натуральных чисел, рассказывается о свойствах деления (в том числе доказывается теорема об однозначности деления с остатком), а также о признаках делимости, но ничего не сказано об арифметике остатков (модулярной арифметике) – то есть о том математическом языке, появление которого в своё время произвело настоящую революцию в теории чисел — разделе математики, изучающем целые числа. Настоящая книжка является логическим продолжением ДПЧ, поэтому мы начинаем её с рассказа об этом языке. На следующих занятиях рассматриваются теорема Вильсона, свойства функции Эйлера, китайская теорема об остатках, малая теорема Ферма и теорема Эйлера. Все эти темы почти независимы друг от друга и могут изучаться в любом порядке.
Последние два занятия посвящены темам, которые для теории чисел являются относительно новыми (а для кружковых занятий – совсем новыми) – псевдопростым числам и криптографии с открытым ключом.
Все семь занятий предназначены для учеников 7–9 классов, хотя могут быть использованы и в кружках 10-11 классов.
В то же время ряд более классических числовых тем – квадратичные вычеты и невычеты, закон взаимности, решение разнообразных диофантовых уравнений высоких степеней – в эту книгу уже явно «не помещались». Автор надеется впоследствии вернуться к ним в следующей книжке – «Буки теории чисел»
.Подавляющее большинство задач не новы. Многие из них встречалась в различных англоязычных учебниках по Elementary Number Theory. Автор выражает признательность А.С.Штерну и особенно А.В.Шаповалову, предложившим ряд ценных улучшений текста книги.
Говоря о числах и их делителях, мы подразумеваем целые числа и натуральные делители. Буквами p и q, как правило, обозначены простые числа.
Кроме того, в книге содержится много ссылок на числовые последовательности из Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей http://oeis.org. В качестве ссылок мы используем номера последовательностей в Онлайн-энциклопедии. Например, ссылка A000027 означает http://oeis.org/A000027.
Джон Уилсон (6 августа 1741 – 18 октября 1793) – английский математик и юрист. Теорема, носящая ныне его имя, впервые была сформулирована и приведена без доказательства его учителем Эдвардом Уорингом (Варингом) в 1770 году в труде Meditationes Algebraicae. Первое доказательство теоремы Вильсона дал в 1771 году Жозеф Луи Лагранж.