Среди математических соревнований Турнир городов, безусловно, явление уникальное. Он был организован более 30 лет назад Н.Н.Константиновым, который и по настоящее время является президентом Турнира. За эти бурные годы возникало и проводилось немало других соревнований. Однако Турнир как был, так и продолжает стоять особняком – и по правилам, и по задачам. Необычные правила открывают дорогу задачам, которые по соображениям спортивной предсказуемости невозможно дать ни на каком другом соревновании. На Турнире сложилась и поддерживается традиция отбора авторских задач с богатым математическим содержанием, как с короткими красивыми решениями, так и требующих исследования. Почти в каждой задаче есть хоть маленькое, но чудо: условие или решение содержит больше, чем можно ожидать на первый взгляд. Это может быть красивый ответ, сильный результат или выход на раздел математики, не заявленный в условии.
Мы считаем, что именно такие задачи позволяют показать заинтересованным школьникам математику живой, привлекательной и целостной. Желание выявить и продемонстрировать многообразие математических идей в задачах Турнира и побудило нас взяться за написание этой книги. Как водится, трудности были недооценены, и работа заняла раз в 10 больше времени, чем предполагалось изначально. За это время вышла книга А.К.Толпыго «1000 задач Турнира городов» (далее [Толп]). Она удовлетворила нетерпеливых читателей, предоставив им полный перечень задач первых 28 турниров, краткие решения, и живой рассказ автора об истории и правилах турнира от лица человека, стоявшего у истоков Турнира. Соответственно, нам она позволила сосредоточить усилия на других сторонах турнира.
Читатель держит в руках сборник задач Турнира городов за 10 лет, почти-что отчет. За эти годы прошли 80 туров, по восемь каждый год, в которых было свыше 400 различных задач. Но уже разнообразие и математическое содержание задач делает эту книгу чем-то гораздо большим. Читатель любит сборники задач с решениями, особенно если задачки яркие, трудные, а решения короткие и легкие. Приятно ведь подсунуть кому-нибудь красивую задачу, подождать пока он безуспешно провозится час или два, а если хватит терпения – то и несколько дней, а потом огорошить его решением из двух-трех фраз! Если так, то вы выбрали правильную книгу. В Турнире городов ярких задач пруд-пруди, а мы не щадили сил и времени на поиск коротких решений и «выжимание воды» из длинных.
Итак, жанр книги – это все таки не отчет. Чем больше мы смотрели на каждую из задач, тем больше обнаруживали связей с другими задачами и математикой в целом. Рубрикатор стал разрастаться до масштабов энциклопедии, и пришлось искать для книги новую форму. То, что получилось, сочетает в себе отчет, справочник по кружковой и олимпиадной математике и учебник в задачах. В каждой ипостаси мы пытались соединить лучшие черты книг-предшественников, в частности, сочетать краткость с полнотой. Например, старались, чтобы решения были столь же краткими, как в [Толп], но при этом были столь же полными и безошибочными, как в [ММО]; чтобы олимпиадные идеи и методы решений были представлены столь же полно, как в [Заоч], а математические идеи – так же широко, как в [МЗ], но с использованием почти исключительно задач турнира городов за указанные годы.
Традиционная часть книги состоит из вариантов Турнира городов за 10 лет с XIX по XXVIII (1997 – 2007 гг.). Варианты помещены примерно в том виде, в каком они выдавались школьникам (небольшие отличия связаны с исправлением опечаток, переносом всех расшифровок терминов в Словарик в конце книги, а также устранением разнобоя в терминологии; баллы за задачу или подпункт указаны в квдратных скобках). Выбор именно этих лет обусловлен тем, что начиная с XIX турнира ежегодные отчеты с решениями в России не выходили, а мы, наоборот, более активно подключились к составлению задач и вариантов, а также написанию решений для Турнира. В частности, при деятельном участии Л.Э.Медникова были выпущены в Израиле несколько ежегодных отчетов с решениями на русском и иврите, а А.В.Шаповалов выкладывал в сети условия и решения некоторых турниров по-шведски.
Все же рамки 10 турниров оказались чуть тесноваты для намеченных целей, . и мы сочли возможным пополнить книгу избранными задачами Турнира за другие годы, а также дополнительными задачами, в той или иной степени «родственными» основным.
Все задачи снабжены решениями, помещенными в отдельном разделе. Собственно решения авторы старались писать кратко, насколько это не вредило полноте. Некоторые задачи снабжены двумя (а иногда и тремя) решениями или идеей второго решения. Если второе решение выходило за рамки школьной программы, оно помечалось как решение для знатоков. Все остальное, что хотелось сказать по поводу задачи или решения, оформлялось как примечание, замечание или комментарий к решению. Помимо обычных, есть комментарии особого вида, озаглавленные Идеология и Ложный след.
Идеология – это соображения, как приведенное решение могло быть придумано. Чаще всего идеология приведена к задачам с вопросом «Можно ли?» и ответом «Можно». В решении предъявляется конструкция, а в идеологии – возможный способ поиска такой конструкции.
Ложный след – это распространенное (часто даже опубликованное) неполное или ошибочное решение, многими принимаемое за полное. Приводя мелким шрифтом текст псевдорешения, мы разъясняем затем, в чем состоит неполнота или ошибочность.
Ответы к задачам вынесены в отдельный раздел, их можно использовать как некоторую замену подсказкам.
К более-менее традиционным разделам относится и список авторов задач, с указанием перечня задач для каждого автора. Как уже сказано, варианты даны в «первозданном» виде, то есть при задаче ее автор не указан. И это не случайно: нормальному школьнику фамилия автора в момент олимпиады несущественна, а для изощренных профессионалов может послужить нежелательной подсказкой. А вот читатель, которому автор интересен, скорее будет благодарен за авторскую подборку задач.
Главной частью книги мы считаем Словарик. Он состоит из статей трех типов, объединяя в себе словарь олимпиадных терминов, рубрикатор задач по методам решения и темам, а также перечень математических фактов, известных завсегдатаям олимпиад, но не входящих обычно в школьную программу. Тексты статей обильно уснащены контекстными ссылками на другие статьи и на задачи; кроме того, список задач следует практически за каждой статьей. Мы очень надеемся, что книга будет изучаться не линейно; что каждый читатель, следуя по ссылкам в удобном ему порядке, будет прокладывать свою собственную тропу в математику.
Список статей достаточно нетрадиционен: он идет не от перечня из математической энциклопедии, а от вопросов, которые задавали любознательные или недоумевающие школьники на кружках и олимпиадах. Так, в эпоху обилия интернет-игр, карты и шахматы стали менее распространены, хотя в задачах широко используются. Поэтому мы вставили нужные названия и простейшие сведения об этих и некоторых других играх в словарик – разумеется, описав их сугубо с математической точки зрения.
Более половины статей словарика составляют наводящие идеи и темы. Их список существенно расширен по сравнению с аналогичными изданиями, многие рубрики придуманы нами. Такие статьи преследуют сразу несколько целей. Во-первых, соответствуюшие подборки задач могут послужить (и уже служили) хорошим подспорьем к созданию тематического кружкового занятия. Во-вторых, ссылка от задачи на такую статью заменяет подсказку, при том, что прочитав статью, школьник может научиться решать не только данную задачу, но и аналогичные. В-третьих, рубрика помогает найти задачу по ее содержанию, а не только по формулировке.
Наконец, некоторые статьи содержат факты и теоремы. Прежде всего, мы старались помещать то, что часто применяется на олимпиадах, но чье доказательство не так просто найти в популярных книгах. Некоторые же факты, как например выпрямление кратчайшего пути на развертке, существование выигрышной или ничейной стратегии, теорема Жордана, вообще объявили очевидными. Вместо доказательств от пытливых школьникам обычно отговариваются фразами вроде «Вот поступишь на мехмат, там тебе и докажут». Мы же даем их элементарные доказательства, считая их вполне доступными, не слишком длинными и обладающими большим обучающим эффектом.
Тем самым, амбициозному читателю созданы все условия чтобы научится решать задачи, подобные собранным в этой книге. Выберите задачу своего уровня (ориентируйтесь на класс и сложность) и попробуйте решить ее. Если получится – здорово, читайте ответ и решение, сравнивайте. Скорее всего, ваше решение будет не слишком похоже на наше. Если к решению приложен Ложный след, обязательно убедитесь, что ваше решение таковым не является!
А что делать, если выбранную задачу решить не получилось? Загляните в ответ – если он есть. Главное же – загляните в Ссылки к задаче. Почти к каждой задаче есть 3-4 ссылки на статьи словарика. Все статьи краткие, но там вы найдете полезные факты или описание приема решения задач и подборку задач, где этот прием применяется. Может найтись и конкретный намек к выбранной задаче. Если все еще задача не получается, порешайте задачи полегче из этих подборок, а потом вернитесь к выбранной.
В заключение об устройстве ссылок, которые составляют очень важный элемент данной книги. Жаль, что бумажный формат не предусматривает гиперссылок! Ссылки бывают трех типов.
Ссылка на литературу – это набор букв в квадратных скобках, например [ММО]. Расшифровка – в списке Литература в конце книги.
Ссылка на статью в словарике может даваться несколькими способами. В разделе «Наводящие идеи» после номера каждой задачи просто перечислены названия статей. Иногда ссылка дается в примечании. Но чаще всего мы прсио подчеркиваем одно или несколько слов в тексте. Подчеркнутые слова и составляют название статьи (возможно, лишь начало названия).
Наконец, ссылкой на задачу служит ее номер, состоящий из трех частей: номер турнира, номер тура, номер задачи. Например, 23.6.2 означет XXIII турнир, 6-й тур, задача 2. При ссылке внутри одного турнира номер турнира опускается. В Условиях задачи нумеруются двумя цифрами (в примере 6.2), а номер турнира есть в заголовке. Приведем список соответствия между номерами туров и их традиционными названиями в то время:
1 – осенний тренировочный младший,
2 – осенний тренировочный старший,
3 – осенний основной младший,
4 – осенний основной старший,
5 – весенний тренировочный младший,
6 – весенний тренировочный старший,
7 – весенний основной младший,
8 – весенний основной старший.
Президенту Турнира Николаю Николаевичу Константинову за советы, оказавшие значительное влияние на структуру книги;
Председателю Центрального жюри Турнира Сергею Александровичу Дориченко, поддерживавшему идею книги и оперативно снабжавшему авторов необходимыми материалами;
Директору МЦНМО Ивану Валерьевичу Ященко, без чьей моральной и материальной поддержки эта книга не была бы закончена;
Руководителю израильского жюри Турнира Льву Радзивиловскому, который не только поддерживает постоянный контакт с одним из авторов, но и создал сайт, на котором собраны решения всех задач Турнира городов на иврите;
Первому организатору Турнира в Израиле Борису Бегуну за подготовку к изданию в Израиле решений XVIII–XXII турниров, см. [ТГИзр1, ТГИзр2].
Всем неупомянутым здесь коллегам – за плодотворные обсуждения, а женам, детям и друзьям – за моральную поддержку.