Занятия с учениками 6 класса по субботам: решение задач, их обсуждение.
|
1 |
7 сентября |
Чтобы опровергнуть, хватит контрпримера. Чтобы доказать, необходимо рассуждение. | |||
|
2 |
Таблицы и суммы. Подсчёт двумя способами. |
14 сентября |
Разбиение таблицы на части: строки, столбцы, прямоугольники. Подсчет общей суммы двумя способами. | ||
|
3 |
Площади и периметры клетчатых прямоугольников |
21 сентября |
Предварительный подсчет и соображения делимости помогают как найти общее рассуждение, так и построить контрпример. | ||
|
4 |
28 сентября |
Большие конструкции легче строить из одинаковых блоков. Одинаковые блоки можно построить даже из разных деталей. | |||
|
5 |
5 октября |
Схемы в виде точек на числовой прямой, кругов и генеалогических деревьев. Поиск узких мест на схемах. | |||
|
6 |
12 октября |
Когда по кругу объекты двух типов, то часто полезно разбить их либо на одинаковые части, либо на части одинаковых подряд. | |||
|
7 |
19 октября |
Комбинации признаков делимости, их применение для построения примеров с нужной делимостью |
|||
|
8 |
26 октября |
Простейшие задачи на пример+оценку. Оценка через делимость либо очевидный максимум минус 1. |
|||
|
9 |
Оценка+Пример. Жадный алгоритм. |
2 ноября |
В задачах на нахождение наименьшего и наибольшего решение состоит из 3 частей: начинают с ответа, затем дают пример и оценку. Оценку часто обосновывают через жадный или почти жадный алгоритм. | ||
|
10 |
Оценка дефицита. Принцип Дирихле |
9 ноября |
Замечаем, что у нас в дефиците, считаем это и расходуем наиболее экономно. Принцип Дирихле: оценим число кроликов через число клеток. | ||
|
11 |
16 ноября |
Граф из точек и дуг: полезный рисунок, но не обязательный. Степени вершин помогают посчитать число рёбер. |
|||
|
12 |
Графы карт, свойства степеней вершин |
23 ноября |
Графы карт (построение примеров). Леммы о рукопожатиях и повторении степеней. Графы для доказательства от противного и построения примеров. |
||
|
13 |
30 ноября |
Связные компоненты, теорема о разбиении на циклы и цепи. |
|||
|
14 |
7 декабря |
Ищем закономерность, вычисляем далекий от начала член прогрессии по номеру и номер по члену, учитываем эффект плюс-минус 1 |
|||
|
15 |
Сумма арифметической прогрессии |
14 декабря |
Разбиение на группы с равной суммой. Равноотстоящие от края пары. |
||
|
16 |
21 декабря |
Бывает удобнее сосчитать удвоенную или утроенную сумму, а результат разделить. |
|||
|
17 |
28 декабря |
Объёмы и площади поверхности фигур, составленных из кубиков |
|||
|
18 |
11 января |
Узкое место – та часть конструкции, где меньше всего вариантов выбора. Начав с узкого место, быстрее придёшь к противоречию или построишь кусок конструкции. После этого можно поискать следующее узкое место. |
|||
|
19 |
Раскраска в два цвета. Чередование |
18 января |
Правильная раскраска чередует цвет поля при каждом ходе, находит цвет по чётности числа ходов, доказывает невозможность маршрутов, оценивает оптимальность разбиения. |
||
|
20 |
13 января |
Круги Эйлера позволяют сумму разбить на части, учтённые одинаковое число раз и правильно учесть лишние разы. |
|||
|
21 |
Перебор делителей |
1 февраля |
С помощью разложения на простые множители находим все делители. Комбинируем делители в пары. Перебираем делители в поисках искомого. |
||
|
22 |
8 февраля |
НОД и НОК с помощью разложения на простые множители. Оценка+пример. |
|||
|
23 |
15 февраля |
Для перебора полезно заранее составить список из взаимоисключающих вариантов, из которых случится ровно один, а потом все варианты по очереди проверить. |
|||
|
24 |
Увидеть двудольный граф |
22 февраля |
Правильно раскрасить вершины графа в два цвата можно, заметив что вершины делятся на два типа. Доказать, что правильной раскраски нет можно, найдя цикл из трёх взаимосвязанных вершин или вообще, найдя любой нечётный цикл. |
||
|
25 |
1 марта |
Разбиение клетчатых фигур на симметричные части и представление чисел в виде сумм и произведений палиндромов. |
|||
|
26 |
8 марта |
Критерий эйлеровости. Вершины нечётной степени как узкое место. |
|||
|
27 |
Пересчёт в целые |
15 марта |
Действия с обыкновенными дробями можно заменить на действия с целыми числами за счет выбора другой, более подходящей единицы измерения. |
||
|
28 |
Разминка на малых |
22 марта |
Когда пример не одинок, а входит в серию подобных ему, бывает полезно сначала посмотреть на самые маленькие примеры в серии. Два-три малых примера подскажут закономерность, которая поможет разобраться и с большими конструкциями. |
||
|
29 |
Списки в таблицах |
29 марта |
Подсчет случаев/способов/комбинаций проще, если разместить их в клетках таблицы; это помогает даже когда не все клетки будут заняты. |
||
|
30 |
Треугольные числа, дороги и пары |
5 апреля |
Суммы 1+2+...+n, число рёбер в полном графе и число неупорядоченных пар. |
||
|
31 |
Чудо-дерево перебора |
12 апреля |
Перечисление случаев в виде дерева. Произведение. |
||
|
32 |
Графы: деревья |
19 апреля |
Граф-дерево, число рёбер и вершин, листья. |
||
|
33 |
Симметричные и дополнительные пары |
26 апреля |
Подсчет с помощью разбиения на пары, симметричные или дополнительные друг другу. Учет исключений. |
||
|
34 |
Ослабление условий |
3 мая |
Если конструкцию сложно придумать из-за слишком жестких условий, то можно сначала от части условий отказаться или их ослабить, построить заготовку с оставшимися условиями, а потом её доработать. |
||
|
35 |
Расставь цифры |
10 мая |
Решение ребусов и задач на перестановку цифр с помощью соображений делимости и неравенств. |
||
|
36 |
17 мая |
Инерция мышления - это создание для себя невидимых барьеров. Чтобы победить её, надо ограничения осознать. |