28:e Städernas Turnering

 Våren 2007, O-omgång

Stockholm, den 10 mars

Juniors: Grundskola och gymnasium åk1

(Inom hakparenteser står den maximala poängen för varje problem.  Summan av poängtal för delproblem adderas och räknas som ett problem. Din totala poängsumma utgörs av de tre uppgifter för vilka du får flest poäng. Sedan multipliceras summan med 3/2 för åk 8, med 4/3 för åk 9. Problemen 6 och 7 tillgodoräknas bara i tävlingen mellan eleverna och städerna i det här landet.)

1. Fem sträckor bildar en stjärna indelad i 5 trianglar och en femhörning (se bilden). Om det visar sig att alla fem trianglar är kongruenta (likformiga och av samma storlek) kan man då vara säker på att även femhörningen är regelbunden (dvs. alla sidor är lika långa och alla vinklar lika stora)? [4 poäng]

  
2. Givet två 2007-siffriga heltal där det är känt att man kan göra dem lika genom att ta bort 7 siffror ur varje tal. Visa att man kan göra de båda talen lika genom att stoppa in 7 siffror i varje tal före, mellan eller efter siffrorna som redan finns [4 poäng] 

3. Bestäm det minsta antalet torn som kan hota samtliga vita rutor på ett schackbräde. (Ett torn hotar alla rutor som finns i såväl samma vertikala som horisontella rad som tornet är utplacerat i. Ett schackbräde består av 8×8 rutor.) [4 poäng] 

4. Tre tal, skilda från noll, är sådana att om man sätter dem i vilken ordning som helst som koefficienter i en andragradsekvation får man en ekvation som har en eller två reella lösningar. Kan man vara säker på att var och en av ekvationerna har minst en positiv lösning? [4 poäng] 

5. a) En tårta har formen av triangel med en vinkel tre gånger så stor som en annan vinkel. En kartong har formen av en triangel, spegelsymmetriskt kongruent med tårtan. Hur kan man skära tårtan i två bitar och lägga dem i kartongen utan att vända någon av bitarna upp och ner? [1 poäng]
   b) Samma uppgift för en tårta och en kartong med formen av en trubbvinklig triangel, där den trubbiga vinkeln är dubbelt så stor som en av de spetsiga vinklarna.[4 poäng]  
(Betrakta både tårtan och kartongen som platta figurer)

Lokalt tillägg 

6. Om Lenas mobil är helt laddad så räcker det för 6 timmar samtal eller 210 timmar väntetid. Lena gick ombord på ett tåg med helt nyladdad mobil och steg av med helt urladdad mobil. Under resan pratade hon i telefon halva tiden. Hur länge varade resan? [1 poäng] 

7. På ett rutnät markeras 4 rutornas hörn som är hörn i en 4×4–kvadrat. Markera två rutornas hörn till och bind samman de 6 punkterna med sträckor så att en sexhörning med arean av sex rutor fås. (En sexhörning får vara icke-konvex dvs. ha vinklar större än 180°. [2 poäng]

Författarna till problemen: 3 - R.Zhenodarov, 5 - M.Skopenkov

 

Seniors: Gymnasium åk 2 och 3

(Inom hakparenteser står den maximala poängen för varje problem.  Summan av poängtal för delproblem adderas och räknas som ett problem. Din totala poängsumma utgörs av de tre uppgifter för vilka du får flest poäng. Sedan multipliceras summan med 5/4 för åk 2. Problemen 6 och 7 tillgodoräknas bara i tävlingen mellan eleverna och städerna i det här landet.)

1. Ett rutnät 9×9 är målat svart och vitt som ett schackbräde. Rutorna i hörnen är vita. Bestäm det minsta antalet torn som kan hota samtliga vita rutor på rutnätet. (Ett torn hotar alla rutor som finns i såväl samma vertikala som horisontella rad som tornet är utplacerat i.) [3 poäng]  

2. Ekvationen x3+px2+qx+r=0 har tre rötter i intervallet (0;2) (d.v.s. för vilken som helst rot x gäller 0<x<2). Visa att summan av koefficienterna uppfyller olikheten –2<p+q+r<0. [4 poäng] 

3. En rät linje tangerar en cirkel i en punkt A. Ta en godtycklig punkt B på linjen och vi får en annan sträcka A’B' genom att rotera sträckan AB kring cirkelns medelpunkt ett okänt antal grader. Visa att den räta linjen AA’ skär sträckan BB' precis i dess mittpunkt. [4 poäng] 

4. En talföljd bildas av nollor och ettor enligt följande regel: på plats k står 0 om talet k har en jämn siffersumma, annars står där 1. Visa att talföljden inte är periodisk. (En talföljd kallas periodisk om det finns ett positivt tal T sådant att det gäller an+T=an för alla n.)[4 poäng] 

5. a) En tårta har formen av en trubbvinklig triangel med den trubbiga vinkeln dubbelt så stor som en av de spetsiga vinklarna. En kartong har formen av en spegelsymmetrisk kongruent triangel. Hur kan man skära tårtan i två bitar och lägga dem i kartongen utan att vända någon av bitarna upp och ner? [1 poäng]
   b) Samma uppgift för en tårta och en kartong med formen av en triangel med vinklarna 20°, 30° och 130°. [4 poäng]  
(Betrakta både tårtan och kartongen som platta figurer)

Lokalt tillägg 

6. På ett rutnät markeras 4 rutornas hörn som är hörn i en 4×4–kvadrat. Markera två rutornas hörn till och bind samman de 6 punkterna med sträckor så att en sexhörning med arean av sex rutor fås. (En sexhörning får vara icke-konvex dvs. ha vinklar större än 180°.[1 poäng]

7. Hur många talpar finns sådana att talens summa, talens produkt och talens kvot är lika?[2 poäng]

Författarna till problemen: 1 - R.Zhenodarov, 5 - M.Skopenkov