Восемнадцатая книжка серии «Школьные математические кружки» посвящена задачам, связанным с числовыми последовательностями. В базовой школьной программе этой теме уделено очень мало внимания, в то время как решение многих несложных задач, в условии которых явно или неявно содержатся последовательности, развивает математическую интуицию, логику, а также полезно с точки зрения совершенствования «техники» работы с различными математическими объектами. Предлагаемая книжка содержит одиннадцать занятий математического кружка. Для удобства использования заключительная часть книжки, как всегда, сделана в виде раздаточных материалов. Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям математики.
Скачать Демо-версию книги (pdf)
Купить электронную версию книги на litres.ru
Эта книжка серии «Математические кружки» посвящена задачам, связанным с числовыми последовательностями. К сожалению, в базовой школьной программе этой теме уделено очень мало внимания. Школьники изучают только простейшие свойства двух частных случаев последовательностей: арифметической и геометрической прогрессии и происходит это довольно поздно: в курсе алгебры 9 класса. Вместе с тем, решение многих несложных задач, в условии которых явно или неявно содержатся последовательности, развивает математическую интуицию, логику, а также полезно с точки зрения совершенствования «техники» работы с различными математическими объектами. Не стоит забывать также и о том, что уже в самом раннем возрасте, учась считать, ребенок сразу сталкивается с простейшей последовательностью: последовательностью натуральных чисел. В дальнейшем, умение найти простейшие закономерности, удобные способы суммирования, и т. п., требуется для решения многих задач, с которыми дети сталкиваются не только при изучении математики. С этой точки зрения весьма полезно уделить этой теме ряд занятий математического кружка, начиная с 5 класса (а для особо «продвинутых» школьников можно начать и раньше).
Предлагаемая книжка содержит одиннадцать занятий математического кружка. В материалы каждого занятия входят: вступительный и поясняющий текст учителя, включающий в себя: несколько подробно разобранных типовых задач по теме; упражнения и задачи, которые могут быть предложены учащимся для самостоятельного решения (как на занятии, так и дома); подробные решения этих задач; методические комментарии для учителя. Отметим, что разбиение на занятия в какой-то степени условно и иногда происходит по «внешним признакам», так как приходится учитывать наличие или отсутствие сведений, которые учащиеся имеют на тот или иной момент в соответствии со школьной программой.
Отдельным списком представлены дополнительные задачи различного уровня трудности, часть из которых в какой-то степени дублирует задачи, предложенные для занятий, а часть – дополняет их новыми идеями (наиболее сложные задачи отмечены знаком *). Эти задачи можно использовать на усмотрение преподавателя (или обучающегося). Для них также, как правило, приведены подробные решения (в отдельных случаях – ответы и указания). Для удобства, в конце каждого занятия приведен список задач из этого раздела, которые имеет смысл использовать для закрепления материала, контроля его освоения и углубления. Следует учесть, что есть задачи, которые могут быть отнесены к нескольким занятиям.
В качестве приложения приведена также таблица кратких сведений об арифметической и геометрической прогрессиях. Некоторые из них обобщают те приемы и методы, которые встретятся при решении задач из книжки. Помимо прочего, этот перечень может оказаться полезным для углубления раздела школьного курса, связанного с прогрессиями. Краткое содержание занятий.
Занятие 1. Поиск закономерностей. Занятие доступно учащимся 5 – 6 классов. Оно посвящено поискам и «вербализации» закономерностей в простейших числовых последовательностях и заполнению пропусков в этих последовательностях в соответствии с найденными закономерностями. Особое внимание уделено задачам, в которых демонстрируется возможность задания одной и той же последовательности различными способами, а также задачам, решение которых подготавливает к изучению прогрессий.
Занятие 2. Закономерности сумм и произведений. Занятие ориентировано на учащихся 5 – 6 классов. Оно посвящено простейшим приемам, с помощью которых можно находить суммы с большим количеством слагаемых и произведения большого количества сомножителей. В частности, вычисляются суммы некоторых арифметических и геометрических прогрессий (не вводя их определений). На отдельных примерах демонстрируются возможности «комбинаторного» и «геометрического» способов суммирования.
Занятие 3. Восстановим члены последовательности. Занятие ориентировано на учащихся 6 – 7 классов. Оно служит для того, чтобы школьники освоились с различными правилами, по которым могут быть заданы последовательности (как конечные, так и бесконечные) и научились восполнять «пробелы» в различных числовых рядах. Обсуждаются два основных способа задания числовых последовательностей: рекуррентный и формулой n-го члена. В ряде задач потребуется самим установить и обосновать закономерности, на основании которых можно будет вычислить члены с достаточно большими порядковыми номерами.
Занятие 4. Зацикливание. Занятие ориентировано на учащихся 7 – 8 классов. Оно посвящено решению задач, в условии которых различными способами заданы периодические последовательности. В процессе решения и разбора задач школьники смогут научиться распознавать такие последовательности, находить их период и члены с конкретными номерами. Особое внимание уделелено алгебраическим методам решения, в частности, использованию равенств из условий задач в общем виде.
Занятие 5. Суммирование. Занятие ориентировано на учащихся 7 – 8 классов. Рассматриваются способы суммирования, основанные на применении некоторых алгебраических тождеств. Отрабатываются стандартные приемы, характерные для многих алгебраических задач (не только связанных с последовательностями): представление дроби в виде суммы или разности, прибавление и вычитание одного и того же выражение для получения «удобного» выражения, освобождение от иррациональности в знаменателе дроби, и пр.
Занятие 6. Целочисленные арифметические прогрессии. Занятие ориентировано на учащихся 8 – 9 классов. Оно посвящено задачам на последовательности, членами которых являются целые числа. Требует знания основ делимости и базовых сведений об арифметической прогрессии. Особое внимание уделено простым числам в арифметических прогрессиях.
Занятие 7. Существует ли ... ? Занятие ориентировано на учащихся 8 – 9 классов. Оно посвящено различным задачам, в которых требуется построить пример последовательности, обладающей определенными свойствами, либо привести контрпример, показывающий, что такой последовательности не существует. При решении задач активно задействован материал предыдущих занятий: применение алгебраических тождеств, простейшие приемы суммирования, базовые сведения об арифметической прогрессии, соображения делимости, и пр.
Занятие 8. Опять суммирование. Занятие ориентировано на учащихся 9 – 10 классов. Рассматриваются сравнительно сложные случаи суммирования. Для решения некоторых задач требуется комбинировать различные приемы и формулы, что способствует совершенствованию алгебраической техники школьников. Освоение этого материала потребует от школьников уверенного владения навыками работы с арифметической и геометрической прогрессиями.
Занятие 9. Числа Фибоначчи. Занятие ориентировано на учащихся 9 – 10 классов. Посвящено изучению свойств одной из самых известных последовательностей: числам Фибоначчи. В рамках решения и обсуждения задач школьники получат уникальную возможность сочетания методов и приемов из алгебры, теории чисел и комбинаторики, которые в некоторых случаях можно интерпретировать геометрически. Для работы с предложенным материалом от учащихся потребуется уверенное владение методом математической индукции и знание основ теории делимости, а также навыки тождественных преобразований и комбинаторных рассуждений.
Занятие 10. Вспомогательные последовательности. Занятие ориентировано на учащихся 9 – 10 классов. Посвящено задачам, для решения которых удобно (а иногда – необходимо) вводить новую последовательность, которую уместно называть вспомогательной. В условиях некоторых задач последовательности не упоминаются, а их введение в качестве вспомогательных позволяет найти красивое и короткое решение. В других задачах введение вспомогательной последовательности обеспечивает переход к последовательности, свойства которой известны, в частности, к арифметической или к геометрической прогрессии. В ряде случаев этот прием позволяет оценить члены последовательности с конкретными номерами.
Занятие 11. Применение свойств последовательностей. Посвящено обсуждению сравнительно трудных задач, большинство из которых ранее использовались на олимпиадах высокого уровня. Для их решения применяются общие свойства последовательностей: периодичность, монотонность и ограниченность. Во вступительной части вводятся строгие определения этих понятий, а в процессе решения и обсуждения задач вырабатываются и закрепляются навыки их применения.
По традиции, в конце книжки все занятия представлены в виде дидактических материалов. Понятно, что преподаватель математического кружка (или учитель на уроках и факультативных занятиях) может по своему усмотрению использовать только часть предложенных занятий, использовать эти занятия для более старших или более младших школьников, поменять порядок их изучения, и т. д.
Выражаю благодарность всем авторам книг и статей, указанных в списке использованной литературы, а также авторам всех использованных в книжке задач (многих из которых установить, к сожалению, не удалось). Автор благодарен А.В. Шаповалову, оказавшему существенное влияние на концепцию книги и на улучшение ее текста, А.В. Антропову, А.И. Сгибневу и А.С. Штерну, из чьих материалов были позаимствованы некоторые задачи, а также всем школьникам, на занятиях с которыми этот материал был апробирован и «протестирован».