Конструкции с повторами (5 класс)

Большие конструкции легче строить из одинаковых деталей. Когда есть выбор, делайте как можно больше деталей одинаковыми. А если детали заданы разными, их удобно объединять в одинаковые блоки. Действия тоже можно группировать в повторяющиеся блоки. Блок вначале и блок в конце могут отличаться от остальных.

Все листки темы

Числовые закономерности (6 класс)

Важно научить школьников воспринимать последовательность как единый объект, который строится по правилу, надо только до этого правила догадаться.

Все листки темы

Разминка на малых (7 класс)

Не решается задача – реши её упрощённый вариант (например, замени число в задаче на меньшее). Возможно, придётся решить для двух или трёх меньших чисел – разминайся, пока не увидишь идею или метод. Правда, если в простой задаче для объяснения хватает слов «смотри» или простого перебора, то в сложной придется изобрести более общий способ доказательства.
Для решения исходной задачи может пригодиться не только метод, но и результат. Часто это простая конструкция, и она может стать частью конструкции сложной задачи, послужить основой или строительным блоком.

Все листки темы

Инвариант шаг за шагом (7 класс)

Чаще процесс ветвится: на каждом шаге есть выбор. Здесь значение инварианта одинаково для начальной точки процесса и для всех точек, до которых можно дойти указанными шагами. А вот до точек с другим значением инварианта дойти нельзя.

Все листки темы

Включение в серию (7 класс)

Включив пример в серию, можем увидеть его свойства на малых примерах из серии.
Обычно конструкция зависит от какого-то числа (параметра) – размера, количество слагаемых и т.п. Сделаем этот число переменным и будем строить примеры для разных значений параметра. Может выясниться, что для некоторых значений задача не имеет смысла или примера явно нет – такие просто пропустим. Вообще, можем создать серию только из удобных нам значений. Важно догадаться, какие именно значения дадут конструкции, аналогичные нужной.

Все листки темы

Полуинвариант движения к цели (7 класс)

Сложный пример часто строят шаг за шагом по алгоритму, проходя цепочку промежуточных конструкций. Каждая похожа на искомый пример лишь отчасти. Чтобы следить за движением к цели, подсчитываем некоторую величину. Она меняется только в одну сторону (либо все время растет, либо – убывает), то есть это – полуинвариант. Например, растёт число элементов, окрашенных правильно или убывает число пустых мест. Когда полуинвариант достигнет критического значения, пример будет построен.

Все листки темы "Полуинвариант"

Пошаговое построение серии (7 класс)

Следующий пример серии можно строить не с нуля, а дополнив или слегка перестроив предыдущий пример. Найдите любым способом несколько самых маленьких примеров и сравните соседние. Цепочка отличий обычно устроена гораздо проще. Заметив в ней регулярность, ищите систематический способ строить следующий пример из предыдущего. Самое простое – когда можно сделать небольшую добавку, например, добавить всего один элемент. Эту идею: поискать подходящую добавку – надо проверять в первую очередь!

Все листки темы "Пошаговое конструирование"

Склеим пазл (7 класс)

Идея переформулировать задачу или её решение как процесс сборки или разборки пазла помогает чаще, чем кажется на первый взгляд. Через год-другой то же можно будет изложить на более серьёзном языке, но пока несколько важных идей нагляднее усвоить именно на этом. Основное – научиться доказывать, что результат не зависит от способа построения. Собирая пазл, не обязательно приклеивать кусочки по одному, можно склеивать их в группы, а группы соединять друг с другом. Путь к результату может проходить через самые разные цепочки частичных конструкций. Но какую бы цепочку мы ни выбрали, есть величины, которые ведут себя одинаково. И доказывать их неизменность можно, следя за ними шаг за шагом.

Все листки темы "Клеим пазл"

Свойства частичных конструкций и «путь на эшафот» (7 класс)

Мы уже строили сложный пример через цепь частичных конструкций. В отличие от пазлов, выбор цепочки обычно важен. Будем брать в неё только позиции со Свойством (оно выбирается вместе с Алгоритмом построения). Надо, чтобы а) Свойством обладал и нужный пример. 2) Свойством обладала стартовая конструкция. 3) Алгоритм обеспечивал сохранение Свойства на каждом шаге. Наглядно эта идея проявляется в играх, когда есть выигрыш по стратегии «Путь на эшафот». Там игрок выбирает дорожку из позиций, ведущую соперника к проигрышу, и не даёт ему уйти с этой дорожки. Обычно, дорожка определяется каким-то свойством (часто - симметрией), и победитель это свойство каждым ходом восстанавливает.

Все листки темы "Путь на эшафот"

Обратная цепочка (7 класс)

Прежде чем пройти к нужному примеру по промежуточной цепочке, её надо построить. И не обязательно это делать с начала и по порядку. , Бывает, что строить удобнее «задом наперёд», с конца. Так делают, когда есть риск проскочить мимо цели. Скажем, при движении от начала процесс ветвится, и трудно понять, какую из ветвей выбрать на очередном шаге. А при спуске по дереву проблемы выбора нет, мы автоматически придем к корню.
Итак, начинаем с искомого примера. Ищем предыдущий пример цепочки. Поставим на это место тот из меньших, который наиболее похож на искомый. Или тот, из которого легче всего получить искомый. Такой шаг называется редукцией. Потом находим ещё меньший, самый похожий на предыдущий и т. д.
Вот когда цепочка уже выстроена, мы сможем пройти по ней от самого малого примера к искомому. Например, чтобы пошагово доказать требуемое свойство примера.

Все листки темы "Редукция"